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 * Geometría:

** La **geometría** del griego geo (tierra) y métrica (medida) es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las [|figuras geométricas] en el plano o el [|espacio], como son: [|puntos], [|rectas], [|planos], [|polígonos], [|poliedros], [|curvas], [|superficies], etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el [|compás], el [|teodolito] y el [|pantógrafo]. Tiene su aplicación práctica en [|física], [|mecánica], [|cartografía], [|astronomía], [|náutica], [|topografía], [|balística], etc. También da fundamento teórico a inventos como el [|sistema de posicionamiento global] (en especial cuando se la considera en combinación con el[|análisis matemático] y sobre todo con las [|ecuaciones diferenciales]) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la [|geometría descriptiva], del [|dibujo técnico] e incluso en la fabricación de artesanías). La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el [|Antiguo Egipto]estaba muy desarrollada, según los textos de [|Heródoto], [|Estrabón] y [|Diodoro Sículo]. [|Euclides], en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la [|geometría euclidiana] descrita en «[|Los Elementos]». El estudio de la [|astronomía], y la [|cartografía], tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como una importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. [|René Descartes], desarrolló simultanemente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podría ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan [|Euler] y [|Gauss], que condujo a la creación de la [|topología] y la [|geometría diferencial]. La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los [|sistemas axiomáticos]. El primer sistema axiomático lo establece [|Euclides], aunque era incompleto. [|David Hilbert] propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, axiomas y teoremas no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos. Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben de perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo //tradicional.//



Trigonometria:

La **trigonometría** es una rama de la matemática, cuyo significado etimológico es "la [|medición] de los [|triángulos]"//. Se deriva del vocablo [|griego]τριγωνο  "triángulo" + μετρον  "medida".//[|1] La trigonometría es la rama de las [|matemáticas] que estudia las relaciones entre los [|ángulos] y los lados de los triángulos. Para esto se vale de las razones trigonométricas, las cuales son utilizadas frecuentemente en cálculos técnicos. En términos generales, la trigonometría es el estudio de las funciones [|seno], [|coseno]; [|tangente], cotangente; [|secante] y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la [|geometría], como es el caso del estudio de las esferas en la [|geometría del espacio]. Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en [|astronomía] para medir [|distancias] a [|estrellas]próximas, en la medición de distancias entre puntos [|geográficos], y en sistemas de navegación por [|satélites].



[|ángulos], y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al [|sistema decimal], se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
 * [|Radián]: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos. En una circunferencia completa hay 2π radianes.
 * [|Grado sexagesimal]: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.
 * [|Grado centesimal]: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.

Oscar Gilberto Saenz Torres La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí. A continuación veremos algunos conceptos relacionados con la geometría. Las líneas se clasifican basicamente en: recta, poligonal curva Partes de una Recta: •semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos •segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos. Posición Relativa entre dos Rectas Según la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como: •rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están contenidas en un plano •rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano •rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano •poligonal abierta: si el primer y último segmentos no están unidos •poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos. Es utilizado en varias ciencias, principalmente en la Geometría. Este método consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal, que se obtienen nuevos conocimientos, es decir, obtener nuevas proposiciones como consecuencias lógicas de otras anteriores. Axioma: Es una proposición tan sencilla y evidente que no necesita demostración, ejemplo: el todo es mayor que cualquiera de sus partes. Postulado: Es una proposición no tan evidente como lo es un axioma pero también se admite sin demostración por ejemplo el decir que en una recta hay una infinidad de puntos. Teorema: Es una proposición que puede se demostrada. La demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. Corolario: Proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. Punto: El punto no tiene dimensiones, carece de masa es algo abstracto (alejado de la realidad), es decir, no se puede definir. Línea: Es una secuencia de puntos. Segmento de recta: Es una proporción de línea recta. ANGULOS Cuando dos rectas se encuentran y forman cuatro religiones llamadas ángulos. Cada ángulo esta limitado por dos lados y un vértice. Es la abertura entre dos lados, los cuales tienen un punto común llamado vértice. El lado desde el cual se empieza a medir el ángulo se llama Codo Inicial, y aquel donde se termina se llama Lado Terminal. Tipos de Ángulos Angulo Convexo: Se llama ángulo convexo R N M a la intersección del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto N. Angulo Cóncavo: Es el ángulo que se obtiene si consideramos la unión de los semiplanos anteriores. Ángulos Consecutivos: Son los pares de ángulos que tienen un lado común y ningún otro punto mas. Ángulo Llano: Cuando los lados de un ángulo son dos semirrectas de una misma recta, el ángulo se llama llano. Ángulos Rectos: Sean dos semirrectas de origen de un origen común O y supongámoslas prolongadas hasta formar dos rectas, a y b, que se cortan en O y que dividen al plano en 4 regiones a, b, c y d, cada una de ellas correspondiente a un ángulo. Cuando esos cuatro ángulos son iguales, se dice que cada uno de ellos es un ángulo recto y que sus lados son perpendiculares. Angulos Oblicuos: Las rectas que se cortan formando ángulos desiguales se llaman oblicuas. A estos ángulos que no son rectos se les llaman oblicuos. • Agudos: Si son menores que un recto. • Obtusos: Si son mayores que un recto. MEDIDA DE ANGULOS Para medir ángulos se emplean fundamentalmente dos sistemas: el que utiliza como unidad el grado sexagesimal y el que utiliza como unidad el radián. Medición de ángulos Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad de medida. Para medir los ángulos existen varios sistemas, siendo los más conocidos el sistema sexagesimal y el circular. Sistemas de medidas angulares code Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal que corresponde a que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y  corresponde a un minuto sexagesimal que se abrevia  ; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y  corresponde a un segundo sexagesimal que se abrevia. code Sistema Circular: en éste sistema la unidad de medida es el radian. ¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio de la circunferencia al cual pertenece. = 3,141592654 R = 1 Las unidades de medida que pasaré p Siendo; a estudiar pertenecen al sistema sexagesimal y circular. Equivalencia entre los sistemas <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Ángulos Complementarios: Son los que miden 90º. Ángulos Suplementarios: Son los que miden 180º LONGITUD DE ARCO Si ө  es un ángulo central que mide un radian entonces la longitud del arco subtendido es igual al radio ®. Donde r es la longitud del radio. Cuando en ángulo Ө  mide 2 radianes, entonces la longitud del arco subtendido mide 2 r.  De manera general si el ángulo mide + radianes entonces la longitud de arco subtendido mide + r.  En matematicas, una circunferencia (del latin “circumferentia”) es el lugar geometrico de los puntos del plano equidistantes a una distancia determinada denominada radio de otro fijo, llamado centro. Se distingue del circulo en que este ultimo es el lugar geometrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada. En otras palabras, la circunferencia seria el perimetro de esta figura geometrica, y el circulo seria la superficie que describe. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. Tambi¨¦n se puede entender como la secci¨®n perpendicular al eje de un cono o cilindro, o como un pol¨ªgono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio Es la curva de m¨¢xima simetr¨ªa bidimensional y sus aplicaciones son tan numerosas (saltan a la vista) que huelga hacer un recuento de ellas. La longitud de una circunferencia es: donde r denota el radio y ¦Ð (el n¨²mero pi) es el cociente entre el di¨¢metro y la longitud de la circunferencia. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.[1] [2] [3] [4] [5] Circunferencia, en otros idiomas (como en ingl¨¦s[6] ) y en matem¨¢tica universal se utiliza para designar la longitud de la frontera de un disco (matem¨¢tica) de radio finito. En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en [|radianes] (dado que un radián es el [|arco] de [|circunferencia] de longitud igual al [|radio] ), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si: si: si: A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar: Circunferencia en [|radianes]. || Circunferencia en [|Grado sexagesimal]. || || Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron [|tablas trigonométricas]. La primera de estas tablas fue desarrollada por [|Johann Müller Regiomontano] en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto. Dados los ejes de [|coordenadas cartesianas] **xy**, de centro **O**, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en **O**; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las **x**, lo señalamos como punto **E**. Notese que el punto **A** es el vertice del triangulo, y **O** es el centro de coordenada del sistema de referencia: a todos los efectos. La recta **r**, que pasa por **O** y forma un ángulo sobre el eje de las **x**, corta a la circunferencia en el punto **B**, la vertical que pasa por **B**, corta al eje **x** en **C**, la vertical que pasa por **E** corta a la recta **r** en el punto **D**. Por [|semejanza] de [|triángulos] : Los puntos **E** y **B** están en la circunferencia de centro **O**, por eso la [|distancia] y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas: tenemos: La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta. Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo. Para, tenemos que **B**, **D**, y **C** coinciden en **E**, por tanto: Si aumentamos progresivamente el valor de, las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá. Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que **D** es el punto de corte de la recta **r** que pasa por **O**, y la vertical que pasa por **E**, en el momento en el que el ángulo [|rad], la recta **r** será la vertical que pasa por **O**. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita. La tangente toma valor infinito cuando [|rad], el seno vale 1 y el coseno 0. Cuando el ángulo supera el [|ángulo recto], el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las **x**, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo. La tangente para un ángulo inferior a [|rad] se hace infinita en el sentido positivo de las **y**, para el ángulo recto la recta vertical **r** que pasa por **O** y la vertical que pasa por **E** no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los  [|rad] y pasa al segundo cuadrante la prolongación de **r** corta a la vertical que pasa por **E** en el punto **D** real, en el lado negativo de las **y**, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las **y**, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los  [|rad]. Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de, , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para [|rad] , hasta que valga 0, para  [|rad] , el coseno,, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para  [|rad] , hasta –1, para  [|rad]. La tangente conserva la relación: incluyendo el signo de estos valores. En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo [|rad] a  [|rad], se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para  [|rad] : Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las **y**, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las **x**, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante. A medida que el ángulo crece el punto **C** se acerca a **O**, y el segmento, el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las **x**. El punto **B**, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por **C**, se aleja del eje de las **x**, en el sentido negativo de las **y**, el seno,. Y el punto **D**, intersección de la prolongación de la recta **r** y la vertical que pasa por **E**, se aleja del eje las **x** en el sentido positivo de las **y**, con lo que la tangente,, aumenta igual que en el primer cuadrante Cuando el ángulo alcance [|rad], el punto **C** coincide con **O** y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las **y**, y el seno valdrá –1, la recta **r** del ángulo y la vertical que pasa por **E** serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las **y**. El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito. En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre [|rad] y  [|rad], las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para  [|rad] : hasta los que toman para [|rad] pasando al primer cuadrante, completando una rotación: como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las **x**, el seno disminuye en el lado negativo de las **y**, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las **y**. Cuando, vale ó al completar una rotación completa los puntos **B**, **C** y **D**, coinciden en **E**, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante. Representación de las funciones trigonométricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en [|radianes]. Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales: Como en el triángulo rectángulo cumple la funcion que: de la figura anterior se tiene que: entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica : que también puede expresarse: En un [|triángulo rectángulo], la [|tangente] (abreviada como //tan// o //tg//) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es: tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos tan (π/2) = tan (90°) = +∞ tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞ tan (0) = 0 tan (π/4) = tan (45°) = 1 tan (π/3) = tan 60°= tan (π/6) = tan 30° = Una identidad de importancia con la tangente es: El seno y coseno se definen en [|matemática compleja], gracias a la [|fórmula de Euler] como: Por lo tanto, la tangente quedará definida como: Siendo (también puede representarse como //j//). La geometría trata de la medición y de las propiedades de puntos, líneas, ángulos, planos y sólidos, así como de las relaciones que guardan entre sí. A continuación veremos algunos conceptos relacionados con la geometría. Las líneas se clasifican basicamente en: recta, poligonal curva Partes de una Recta: •semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos •segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos. Posición Relativa entre dos Rectas Según la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como: •rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están contenidas en un plano •rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano •rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano •poligonal abierta: si el primer y último segmentos no están unidos •poligonal cerrada: si cada segmento esta unido a otros dos. Es utilizado en varias ciencias, principalmente en la Geometría. Este método consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de manera tal, que se obtienen nuevos conocimientos, es decir, obtener nuevas proposiciones como consecuencias lógicas de otras anteriores. Axioma: Es una proposición tan sencilla y evidente que no necesita demostración, ejemplo: el todo es mayor que cualquiera de sus partes. Postulado: Es una proposición no tan evidente como lo es un axioma pero también se admite sin demostración por ejemplo el decir que en una recta hay una infinidad de puntos. Teorema: Es una proposición que puede se demostrada. La demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. Corolario: Proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. Punto: El punto no tiene dimensiones, carece de masa es algo abstracto (alejado de la realidad), es decir, no se puede definir. Línea: Es una secuencia de puntos. Segmento de recta: Es una proporción de línea recta. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">ANGULOS Cuando dos rectas se encuentran y forman cuatro religiones llamadas ángulos. Cada ángulo esta limitado por dos lados y un vértice. Es la abertura entre dos lados, los cuales tienen un punto común llamado vértice. El lado desde el cual se empieza a medir el ángulo se llama Codo Inicial, y aquel donde se termina se llama Lado Terminal. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Tipos de Ángulos Angulo Convexo: Se llama ángulo convexo R N M a la intersección del semiplano de borde NM, que contiene el punto R, y el semiplano de borde NR, que contiene el punto N. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Angulo Cóncavo: Es el ángulo que se obtiene si consideramos la unión de los semiplanos anteriores. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Ángulos Consecutivos: Son los pares de ángulos que tienen un lado común y ningún otro punto mas. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Ángulo Llano: Cuando los lados de un ángulo son dos semirrectas de una misma recta, el ángulo se llama llano. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Ángulos Rectos: Sean dos semirrectas de origen de un origen común O y supongámoslas prolongadas hasta formar dos rectas, a y b, que se cortan en O y que dividen al plano en 4 regiones a, b, c y d, cada una de ellas correspondiente a un ángulo. Cuando esos cuatro ángulos son iguales, se dice que cada uno de ellos es un ángulo recto y que sus lados son perpendiculares. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Angulos Oblicuos: Las rectas que se cortan formando ángulos desiguales se llaman oblicuas. A estos ángulos que no son rectos se les llaman oblicuos. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">• Agudos: Si son menores que un recto. • Obtusos: Si son mayores que un recto. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">MEDIDA DE ANGULOS Para medir ángulos se emplean fundamentalmente dos sistemas: el que utiliza como unidad el grado sexagesimal y el que utiliza como unidad el radián. Medición de ángulos Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma por unidad de medida. Para medir los ángulos existen varios sistemas, siendo los más conocidos el sistema sexagesimal y el circular. Sistemas de medidas angulares code <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal que corresponde a que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y  corresponde a un minuto sexagesimal que se abrevia  ; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y  corresponde a un segundo sexagesimal que se abrevia. code <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Sistema Circular: en éste sistema la unidad de medida es el radian. ¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio de la circunferencia al cual pertenece. <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">= 3,141592654 R = 1 Las unidades de medida que pasaré <span style="color: black; font-family: Symbol; font-size: 10pt; mso-ascii-font-family: 'Century Gothic'; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-char-type: symbol; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-hansi-font-family: 'Century Gothic'; mso-symbol-font-family: Symbol; msoasciifontfamily: 'Century Gothic'; msobidifontfamily: 'Arial Unicode MS'; msochartype: symbol; msofareastfontfamily: 'Arial Unicode MS'; msohansifontfamily: 'Century Gothic'; msosymbolfontfamily: Symbol;">p <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Siendo; a estudiar pertenecen al sistema sexagesimal y circular. Equivalencia entre los sistemas <span style="color: black; font-family: 'Century Gothic'; font-size: 10pt; mso-bidi-font-family: 'Arial Unicode MS'; mso-fareast-font-family: 'Arial Unicode MS';">Ángulos Complementarios: Son los que miden 90º. Ángulos Suplementarios: Son los que miden 180º LONGITUD DE ARCO Si ө  es un ángulo central que mide un radian entonces la longitud del arco subtendido es igual al radio ®. Donde r es la longitud del radio. Cuando en ángulo Ө  mide 2 radianes, entonces la longitud del arco subtendido mide 2 r.  De manera general si el ángulo mide + radianes entonces la longitud de arco subtendido mide + r.  En matematicas, una circunferencia (del latin “circumferentia”) es el lugar geometrico de los puntos del plano equidistantes a una distancia determinada denominada radio de otro fijo, llamado centro. Se distingue del circulo en que este ultimo es el lugar geometrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada. En otras palabras, la circunferencia seria el perimetro de esta figura geometrica, y el circulo seria la superficie que describe. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. Tambi¨¦n se puede entender como la secci¨®n perpendicular al eje de un cono o cilindro, o como un pol¨ªgono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio Es la curva de m¨¢xima simetr¨ªa bidimensional y sus aplicaciones son tan numerosas (saltan a la vista) que huelga hacer un recuento de ellas. La longitud de una circunferencia es: donde r denota el radio y ¦Ð (el n¨²mero pi) es el cociente entre el di¨¢metro y la longitud de la circunferencia. La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.[1] [2] [3] [4] [5] Circunferencia, en otros idiomas (como en ingl¨¦s[6] ) y en matem¨¢tica universal se utiliza para designar la longitud de la frontera de un disco (matem¨¢tica) de radio finito. En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en [|radianes] (dado que un radián es el [|arco] de [|circunferencia] de longitud igual al [|radio] ), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así si: si: si: A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar: Circunferencia en [|radianes]. || Circunferencia en [|Grado sexagesimal]. || || Para el calculo del valor de las funciones trigonométricas se confeccionaron [|tablas trigonométricas]. La primera de estas tablas fue desarrollada por [|Johann Müller Regiomontano] en 1467, que nos permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el desarrollo de la informática, en prácticamente todos los lenguajes de programación existen librerías de funciones que realizan estos cálculos, incorporadas incluso en calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el empleo actual de las tablas resulta obsoleto. Dados los ejes de [|coordenadas cartesianas] **xy**, de centro **O**, y una circunferencia goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con centro en **O**; el punto de corte de la circunferencia con el lado positivo de las **x**, lo señalamos como punto **E**. Notese que el punto **A** es el vertice del triangulo, y **O** es el centro de coordenada del sistema de referencia: a todos los efectos. La recta **r**, que pasa por **O** y forma un ángulo sobre el eje de las **x**, corta a la circunferencia en el punto **B**, la vertical que pasa por **B**, corta al eje **x** en **C**, la vertical que pasa por **E** corta a la recta **r** en el punto **D**. Por [|semejanza] de [|triángulos] : Los puntos **E** y **B** están en la circunferencia de centro **O**, por eso la [|distancia] y son el radio de la circunferencia, en este caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las definiciones de las funciones trigonométricas: tenemos: La tangente es la relación del seno entre el coseno, según la definición ya expuesta. Partiendo de esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo. Para, tenemos que **B**, **D**, y **C** coinciden en **E**, por tanto: Si aumentamos progresivamente el valor de, las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que disminuirá. Percatarse que y están limitados por la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto será 1, pero no está limitado, dado que **D** es el punto de corte de la recta **r** que pasa por **O**, y la vertical que pasa por **E**, en el momento en el que el ángulo [|rad], la recta **r** será la vertical que pasa por **O**. Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la distancia será infinita. La tangente toma valor infinito cuando [|rad], el seno vale 1 y el coseno 0. Cuando el ángulo supera el [|ángulo recto], el valor del seno empieza a disminuir según el segmento , el coseno aumenta según el segmento , pero en el sentido negativo de las **x**, el valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto aumenta cuando el ángulo sigue creciendo. La tangente para un ángulo inferior a [|rad] se hace infinita en el sentido positivo de las **y**, para el ángulo recto la recta vertical **r** que pasa por **O** y la vertical que pasa por **E** no se cortan, por lo tanto la tangente no toma ningún valor real, cuando el ángulo supera los  [|rad] y pasa al segundo cuadrante la prolongación de **r** corta a la vertical que pasa por **E** en el punto **D** real, en el lado negativo de las **y**, la tangente por tanto toma valor negativo en el sentido de las **y**, y su valor absoluto disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los  [|rad]. Resumiendo: en el segundo cuadrante el seno de, , disminuye progresivamente su valor desde 1, que toma para [|rad] , hasta que valga 0, para  [|rad] , el coseno,, toma valor negativo y su valor varia desde 0 para  [|rad] , hasta –1, para  [|rad]. La tangente conserva la relación: incluyendo el signo de estos valores. En el tercer cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo [|rad] a  [|rad], se produce un cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los que toman para  [|rad] : Cuando el ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en valor absoluto en el sentido negativo de las **y**, el coseno disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las **x**, y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer cuadrante. A medida que el ángulo crece el punto **C** se acerca a **O**, y el segmento, el coseno, se hace más pequeño en el lado negativo de las **x**. El punto **B**, intersección de la circunferencia y la vertical que pasa por **C**, se aleja del eje de las **x**, en el sentido negativo de las **y**, el seno,. Y el punto **D**, intersección de la prolongación de la recta **r** y la vertical que pasa por **E**, se aleja del eje las **x** en el sentido positivo de las **y**, con lo que la tangente,, aumenta igual que en el primer cuadrante Cuando el ángulo alcance [|rad], el punto **C** coincide con **O** y el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la circunferencia, en el lado negativo de las **y**, y el seno valdrá –1, la recta **r** del ángulo y la vertical que pasa por **E** serán paralelas y la tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las **y**. El seno el coseno y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale cero, la tangente se hace infinito. En el cuarto cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre [|rad] y  [|rad], las variables trigonométricas varían desde los valores que toman para  [|rad] : hasta los que toman para [|rad] pasando al primer cuadrante, completando una rotación: como puede verse a medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las **x**, el seno disminuye en el lado negativo de las **y**, y la tangente también disminuye en el lado negativo de las **y**. Cuando, vale ó al completar una rotación completa los puntos **B**, **C** y **D**, coinciden en **E**, haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno, del mismo modo que al comenzarse el primer cuadrante. Representación de las funciones trigonométricas en el plano (x,y), los valores en el eje x expresados en [|radianes]. Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales: Como en el triángulo rectángulo cumple la funcion que: de la figura anterior se tiene que: entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica : que también puede expresarse: En un [|triángulo rectángulo], la [|tangente] (abreviada como //tan// o //tg//) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es: tan = AC / OA = BD / OB = sen / cos tan (π/2) = tan (90°) = +∞ tan (-π/2) = tan (-90°) = -∞ tan (0) = 0 tan (π/4) = tan (45°) = 1 tan (π/3) = tan 60°= tan (π/6) = tan 30° = Una identidad de importancia con la tangente es: El seno y coseno se definen en [|matemática compleja], gracias a la [|fórmula de Euler] como: Por lo tanto, la tangente quedará definida como: Siendo (también puede representarse como //j//).
 * JESUS ANGEL LIÑAN GARCIA **
 * GEOMETRIA. **
 * Conceptos básicos de geometría **
 * Punto ** : Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.
 * Línea ** : Es una sucesión infinita de puntos.
 * Recta ** : Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia.
 * Poligonal ** :Línea formada por segmento rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en:
 * Ángulo ** : Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común.
 * El método deductivo. **
 * CIRCUNFERENCIA **
 * TRIGONOMETRIA. **
 * Funciones trigonométricas inversas **
 * y ** es igual al **seno** de **x**, la función inversa:
 * x ** es el **arco** cuyo seno vale **y**, o también **x** es el [|arcoseno] de **y**.
 * y ** es igual al **coseno** de **x**, la función inversa:
 * x ** es el **arco** cuyo coseno vale **y**, que se dice: **x** es el [|arcocoseno] de **y**.
 * y ** es igual al **tangente** de **x**, la función inversa:
 * x ** es el **arco** cuya tangente vale **y**, ó **x** es igual al [|arcotangente] de **y**.
 * Valor de las funciones trigonométricas **
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif width="300" height="300" caption="RadiánCircunferencia.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Radi%C3%A1nCircunferencia.svg"]] ||  [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif width="300" height="300" caption="SexaCircunferencia.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:SexaCircunferencia.svg"]]  ||
 * [|Radianes] ** ||
 * [|Grados sexag.] ** ||
 * [|seno] ** ||
 * [|coseno] ** ||
 * [|tangente] ** ||
 * [|cosecante] ** ||
 * [|secante] ** ||
 * [|cotangente] ** ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif width="60" height="60" caption="Angulo000.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo000.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif width="9" height="14" caption=" 0  \;  "]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif width="17" height="15" caption="0^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gif width="64" height="44" caption="\frac{\sqrt{0}}{2}=0"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif width="64" height="44" caption="\frac{\sqrt{4}}{2}=1"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif width="9" height="14" caption="0 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif width="59" height="23" caption="\nexists (\pm \infty) \,\!"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif width="8" height="15" caption="1 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif width="59" height="23" caption="\nexists (\pm \infty)  \,\!"]] ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif width="60" height="60" caption="Angulo030.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo030.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif width="24" height="41" caption=" \frac{1}{6}\pi "]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image022.gif width="27" height="15" caption="30^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif width="67" height="44" caption="\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image024.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{3}}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{3}}{3}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image026.gif width="9" height="14" caption="2 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif width="37" height="44" caption="\frac{2\sqrt{3}}{3}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image028.gif width="26" height="21" caption="\sqrt{3}"]] ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image030.gif width="60" height="60" caption="Angulo045.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo045.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image031.gif width="24" height="42" caption=" \frac{1}{4}\pi "]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image032.gif width="27" height="16" caption="45^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{2}}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{2}}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif width="8" height="15" caption="1 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image034.gif width="26" height="21" caption="\sqrt{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image034.gif width="26" height="21" caption="\sqrt{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif width="8" height="15" caption="1 \,"]] ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif width="60" height="60" caption="Angulo060.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo060.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image037.gif width="24" height="41" caption=" \frac{1}{3} \pi"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gif width="27" height="15" caption="60^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image024.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{3}}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif width="67" height="44" caption="\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image028.gif width="26" height="21" caption="\sqrt{3}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif width="37" height="44" caption="\frac{2\sqrt{3}}{3}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image026.gif width="9" height="14" caption="2 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{3}}{3}"]] ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image040.gif width="60" height="60" caption="Angulo090.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo090.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image041.gif width="24" height="41" caption=" \frac{1}{2} \pi"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image042.gif width="27" height="15" caption="90^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif width="64" height="44" caption="\frac{\sqrt{4}}{2}=1"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gif width="64" height="44" caption="\frac{\sqrt{0}}{2}=0"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif width="59" height="23" caption="\nexists (\pm \infty) \,\!"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif width="8" height="15" caption="1 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif width="59" height="23" caption="\nexists (\pm \infty) \,\!"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif width="9" height="14" caption="0 \,"]] ||
 * Sentido de las funciones trigonométricas **
 * Primer cuadrante **
 * Segundo cuadrante **
 * Tercer cuadrante **
 * Cuarto cuadrante **
 * Representación gráfica **
 * Identidades trigonométricas **
 * Recíprocas **
 * De división **
 * Por el teorema de Pitágoras **
 * Suma y diferencia de dos ángulos **
 * Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos **
 * Producto del seno y coseno de dos ángulos **
 * Ángulo doble **
 * Ángulo mitad **
 * Otras identidades trigonométricas **
 * Función tangente **
 * Seno y coseno, funciones complejas **
 * JESUS ANGEL LIÑAN GARCIA **
 * GEOMETRIA. **
 * Conceptos básicos de geometría **
 * Punto ** : Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.
 * Línea ** : Es una sucesión infinita de puntos.
 * Recta ** : Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia.
 * Poligonal ** :Línea formada por segmento rectos consecutivos no alineados. Se clasifican en:
 * Ángulo ** : Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común.
 * El método deductivo. **
 * CIRCUNFERENCIA **
 * TRIGONOMETRIA. **
 * Funciones trigonométricas inversas **
 * y ** es igual al **seno** de **x**, la función inversa:
 * x ** es el **arco** cuyo seno vale **y**, o también **x** es el [|arcoseno] de **y**.
 * y ** es igual al **coseno** de **x**, la función inversa:
 * x ** es el **arco** cuyo coseno vale **y**, que se dice: **x** es el [|arcocoseno] de **y**.
 * y ** es igual al **tangente** de **x**, la función inversa:
 * x ** es el **arco** cuya tangente vale **y**, ó **x** es igual al [|arcotangente] de **y**.
 * Valor de las funciones trigonométricas **
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif width="300" height="300" caption="RadiánCircunferencia.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Radi%C3%A1nCircunferencia.svg"]] ||  [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif width="300" height="300" caption="SexaCircunferencia.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:SexaCircunferencia.svg"]]  ||
 * [|Radianes] ** ||
 * [|Grados sexag.] ** ||
 * [|seno] ** ||
 * [|coseno] ** ||
 * [|tangente] ** ||
 * [|cosecante] ** ||
 * [|secante] ** ||
 * [|cotangente] ** ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif width="60" height="60" caption="Angulo000.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo000.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif width="9" height="14" caption=" 0  \;  "]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif width="17" height="15" caption="0^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gif width="64" height="44" caption="\frac{\sqrt{0}}{2}=0"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif width="64" height="44" caption="\frac{\sqrt{4}}{2}=1"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif width="9" height="14" caption="0 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif width="59" height="23" caption="\nexists (\pm \infty) \,\!"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif width="8" height="15" caption="1 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif width="59" height="23" caption="\nexists (\pm \infty)  \,\!"]] ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif width="60" height="60" caption="Angulo030.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo030.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image021.gif width="24" height="41" caption=" \frac{1}{6}\pi "]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image022.gif width="27" height="15" caption="30^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif width="67" height="44" caption="\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image024.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{3}}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{3}}{3}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image026.gif width="9" height="14" caption="2 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif width="37" height="44" caption="\frac{2\sqrt{3}}{3}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image028.gif width="26" height="21" caption="\sqrt{3}"]] ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image030.gif width="60" height="60" caption="Angulo045.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo045.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image031.gif width="24" height="42" caption=" \frac{1}{4}\pi "]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image032.gif width="27" height="16" caption="45^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{2}}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image033.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{2}}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif width="8" height="15" caption="1 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image034.gif width="26" height="21" caption="\sqrt{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image034.gif width="26" height="21" caption="\sqrt{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif width="8" height="15" caption="1 \,"]] ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image036.gif width="60" height="60" caption="Angulo060.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo060.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image037.gif width="24" height="41" caption=" \frac{1}{3} \pi"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image038.gif width="27" height="15" caption="60^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image024.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{3}}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image023.gif width="67" height="44" caption="\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image028.gif width="26" height="21" caption="\sqrt{3}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image027.gif width="37" height="44" caption="\frac{2\sqrt{3}}{3}"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image026.gif width="9" height="14" caption="2 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image025.gif width="27" height="44" caption="\frac{\sqrt{3}}{3}"]] ||
 * [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image040.gif width="60" height="60" caption="Angulo090.svg" link="http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Angulo090.svg"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image041.gif width="24" height="41" caption=" \frac{1}{2} \pi"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image042.gif width="27" height="15" caption="90^o \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif width="64" height="44" caption="\frac{\sqrt{4}}{2}=1"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image015.gif width="64" height="44" caption="\frac{\sqrt{0}}{2}=0"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif width="59" height="23" caption="\nexists (\pm \infty) \,\!"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif width="8" height="15" caption="1 \,"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image017.gif width="59" height="23" caption="\nexists (\pm \infty) \,\!"]] || [[image:file:///C:/DOCUME~1/Oficina/CONFIG~1/Temp/msohtml1/01/clip_image013.gif width="9" height="14" caption="0 \,"]] ||
 * Sentido de las funciones trigonométricas **
 * Primer cuadrante **
 * Segundo cuadrante **
 * Tercer cuadrante **
 * Cuarto cuadrante **
 * Representación gráfica **
 * Identidades trigonométricas **
 * Recíprocas **
 * De división **
 * Por el teorema de Pitágoras **
 * Suma y diferencia de dos ángulos **
 * Suma y diferencia del seno y coseno de dos ángulos **
 * Producto del seno y coseno de dos ángulos **
 * Ángulo doble **
 * Ángulo mitad **
 * Otras identidades trigonométricas **
 * Función tangente **
 * Seno y coseno, funciones complejas **